1+1=1,9? Over reproduceerbaarheid in kwantummechanische computersimulaties

16 november 2016 door Kurt Lejaeghere in Fysica

Stel je voor: voor de lol tik je 1 + 1 in je rekenmachine, en het antwoord blijkt 1,9 te zijn. Erger nog, als je er een rekenmachine van een ander merk bijneemt, wordt het resultaat opeens 2,1.

Kapotte rekenmachine? Waarschijnlijk. Tenzij je kwantummechanische vergelijkingen probeert op te lossen.

Rekenen met waarschijnlijkheden

Kwantummechanica lijkt een vreemd en exotisch beest, maar is niets anders dan een theorie die het gedrag van materie op basis van waarschijnlijkheden verklaart. Elk materiaal, gaande van het glas van je ramen tot de bijtende soda onder de gootsteen, bestaat uit atomen. Die zijn zelf opgebouwd uit een atoomkern waarrond elektronen cirkelen. Volgens de klassieke opvatting kan je beide types deeltjes als kleine, ondoordringbare bolletjes beschouwen, die vrolijk door het luchtledige zoeven. Maar in de kwantummechanica ligt het anders. Daar zijn kernen en elektronen veeleer diffuse wolken, die over de ruimte verspreid zijn en zelfs met elkaar kunnen overlappen. Hier kunnen we dus nooit spreken over de exacte positie van een deeltje. We kunnen hooguit zeggen dat een elektron of atoomkern zich waarschijnlijk in een bepaald gebied bevindt. Externe factoren zoals tijd, temperatuur en druk hebben een invloed op die waarschijnlijkheid. Wil je weten hoe een materiaal zich op atomaire schaal gedraagt, dan moet je onderzoeken welke invloed die factoren uitoefenen.

kwantummechanisch-atoom

In een klassiek beeld zijn elektronen kleine deeltjes die rond de atoomkern draaien. Volgens de kwantummechanica is de positie van een elektron niet exact gekend, en kan je een elektron beter als een diffuse wolk voorstellen.

Om kwantummechanisch materiaalgedrag te voorspellen, gebruiken wetenschappers de zogeheten Schrödingervergelijking. Op die wiskundige vergelijking beroepen ze zich al bijna 100 jaar lang. Maar er was een probleem: van zodra het gedrag van meer dan één deeltje te voorspellen viel, werd de vergelijking onoplosbaar.

Gelukkig slaagden enkele fysici, onder wie Nobelprijswinnaar Walter Kohn, er in de jaren zestig in om de Schrödingervergelijking in een beter oplosbare vorm te gieten. Dit formalisme, dat dichtheidsfunctionaaltheorie of DFT genoemd wordt, is nog steeds niet eenvoudig en kan enkel met computers opgelost worden. Toch is de theorie een enorme stap voorwaarts. Heb je een krachtige computer, dan kun je met DFT het gedrag van materialen op de atomaire schaal te voorspellen.

“Computer says no”

Even terug naar onze 1 + 1. Natuurlijk geeft elke rekenmachine hetzelfde antwoord. Ook op veel uitgebreidere berekeningen is het verschil allicht niet groter dan een biljardste van een biljardste. Dat is anders in de kwantummechanica. Stoppen we de DFT-vergelijkingen in een computerprogramma, dan kunnen de resultaten van verschillende programma’s (of codes) onderling veel meer verschillen. De verantwoordelijkheid daarvoor ligt bij de codeontwikkelaars: zij vervangen de eigenlijke vergelijkingen van DFT door een licht vereenvoudigde vorm.

Waarom die vereenvoudiging? Omdat de berekening anders veel te complex wordt. Om de eigenschappen van je materiaal te kennen, moet je voor elke mogelijke positie weten hoe waarschijnlijk het is dat er zich een elektron bevindt. In de leegte tussen de atoomkernen verandert die kans slechts heel geleidelijk. Met een paar berekeningen weet je dan al heel veel. In de buurt van atoomkernen kan dezelfde kans over een minuscule afstand sterk variëren. Je resolutie moet dus fijn genoeg zijn om ook de scherpe waarschijnlijkheidsfluctuaties rond de atoomkernen op te pikken. Dat kan zelfs de allerzwaarste supercomputer in de wereld niet aan. Daarom moeten codeontwikkelaars toegevingen maken.

dichtheidsvariaties

De kans om een elektron aan te treffen, is sterk afhankelijk van waar je je in het materiaal bevindt. Tussen de atoomkernen in varieert de kans slechts weinig. Wanneer je een atoomkern nadert, kan de kans over heel kleine afstanden sterk verschillende waarden aannemen.

Slimme trucjes

Ontwikkelaars van kwantummechanische programma’s beseften al snel dat dit probleem hen het leven zuur zou maken. Ze bedachten daarom de meest spitsvondige trucjes om zowel de lokale schommelingen in waarschijnlijkheid rond de atoomkernen en de gestage variatie in de rest van de ruimte met voldoende nauwkeurigheid te beschrijven. Sommigen gebruiken hun fysische intuïtie om het gebied rond de atoomkernen met modelwaarschijnlijkheden te beschrijven waar de scherpe fluctuaties al inbegrepen zijn. Anderen doen alsof de kernen de elektronen minder sterk aantrekken. Dat zorgt ervoor dat de waarschijnlijkheid om een elektron ter hoogte van een atoomkern aan te treffen minder sterk varieert, en dus een grovere resolutie volstaat om het volledige materiaal te beschrijven. Deze aanpak heeft weinig invloed op het voorspelde materiaalgedrag, zolang de wisselwerking tussen kernen en elektronen hetzelfde blijft in de ruimte tussen de kernen.

Wanneer je het gedrag van een materiaal met een DFT-programma berekent, hangt het resultaat af van de manier waarop de codeontwikkelaars de kwantummechanische vergelijkingen benaderd hebben.

Wanneer je het gedrag van een materiaal met een DFT-programma berekent, hangt het resultaat af van de manier waarop de codeontwikkelaars de kwantummechanische vergelijkingen benaderd hebben.

Tussen 1,999 en 2,001

Toch mag het duidelijk zijn dat deze benaderingen de finale uitkomst van een kwantummechanische berekening beïnvloeden. We verzamelden daarom een groep van 69 codeontwikkelaars en ervaren gebruikers om na te gaan hoe groot de verschillen waren tussen al deze strategieën. In de eerste plaats concentreerden we ons op het gedrag van een materiaal onder druk: hoeveel volume neemt het materiaal in als er geen druk is? Hoe moeilijk is het om het materiaal met 5% te doen krimpen of uit te zetten? Ook hier geven verschillende DFT-programma’s verschillende resultaten. Gelukkig toonde ons onderzoek aan dat de verschillen klein zijn. Als we hetzelfde onderzoek in een laboratorium zouden uitvoeren, zouden onafhankelijke wetenschappers onderlinge verschillen van dezelfde grootteorde vinden. Anderzijds moet je wel zorgen dat de gebruikte software up to date is. Verouderde software kan voor grotere afwijkingen zorgen.

En wat met 1 + 1? Elk rekentoestel in de wereld voorspelt dat de uitkomst ‘2’ is. In de kwantummechanica is dat niet zo. Al blijkt uit onze studie dat de onderlinge verschillen die computerprogramma’s je geven, ook niet zo groot zijn. Nu weten we met zekerheid dat 1 + 1 in ons vakgebied een resultaat levert tussen 1,999 en 2,001. Daar zijn we voorlopig erg tevreden mee.

Kurt Lejaeghere werd met dit onderzoek genomineerd voor de Eos Pipet 2016. Stemmen voor de publieksprijs kan nog tot 15 maart 2017 op http://eoswetenschap.eu/artikel/op-weg-naar-een-gouden-standaard.

Een reactie geven