Een nieuw priemtweelingenrecord


Op 14 september 2016 vond de Amerikaan Tom Greer een nieuwe priemtweeling, die met zijn 388342 cijfers de grootste priemtweeling is die een mens ooit gezien heeft, een stuk groter dan het vorige record bestaande uit 200700 cijfers. Hij luistert naar de naam $$2996863034895\cdot  2^{1290000} \pm 1 .$$

Deze grote priemgetallen vormen een priemtweeling omdat ze vlak tegen elkaar liggen, het verschil is slechts 2. Kleiner dan 2 kan de afstand tussen priemgetallen niet zijn, uitgezonderd het koppel (2,3). Inderdaad, behalve 2 is ieder priemgetal oneven.

Tom Greer werd hierbij geholpen door het netwerk PrimeGrid, dat de rekenprestaties van de computers van duizenden vrijwilligers samenbrengt met behulp van Boinc. Wie deze software op zijn pc installeert, laat toe dat zijn ongebruikte geheugen- en processorcapaciteit met de groep gedeeld wordt. Als Greer alleen gewerkt had, zou zijn zoektocht in nog geen 100 jaar succes hebben, ook al had hij thuis de krachtigste computer ter wereld.

Vanuit statistisch oogpunt worden priemgetallen zeldzamer en met uitsterven bedreigd naarmate de getallen groter worden. Uit de priemgetalstelling volgt immers dat de afstand tussen een priemgetal $P$ en het volgende priemgetal gemiddeld $\ln(P)$ bedraagt, wat traag maar zeker groter wordt bij toenemende $P$. Bekijk gerust onze oude blogpost over eenzame priemgetallen. Toch denken de meeste wiskundigen dat de voorraad priemtweelingen onuitputtelijk is. Zelfs in het gebied van gigantisch grote getallen, waar priemgetallen relatief schaars worden, verwacht men dat tweelingen blijven opduiken. Dit is het fameuze, nog steeds niet opgeloste, priemtweelingenvermoeden.

Waarom is de zoektocht naar een grootste priemtweeling, of het bewijs van het vermoeden dat er oneindig veel zijn, zo belangrijk? Eerlijk gezegd, eigenlijk gewoon omdat we het willen weten. Die dekselse priemgetallen blijven ons verrassen. Hun definitie is eenvoudig (enkel deelbaar door 1 en zichzelf), en sinds de Griekse oudheid is geweten dat ze de primaire bouwstenen zijn van de klassieke rekenkunde. Daarom zou je toch mogen verwachten van de wiskundigen dat ze die priemgetallen stilletjes aan onder de knie hadden. Maar tot op heden hebben we geen vat op enige wetmatigheid die ons kan helpen met het testen, laat staan het automatisch genereren van heel grote priemgetallen. Het is zelfs zo dat een van onze weinige zekerheden, namelijk dat de frequentie van priemgetallen vermindert naarmate de getallen vergroten, op de proef wordt gesteld door het fenomeen van deze promiscue priemtweelingen.

Eigenlijk was de ontdekking van Tom Greer een bijverschijnsel in zijn zoektocht naar grote Sophie Germainpriemgetallen binnen het kader van de Sophie Germain Prime Search, een deelproject van PrimeGrid. De Parisienne Marie-Sophie Germain (1776 - 1831) hebben we vroeger al met veel plezier ten tonele gevoerd in deze blog. Als een zalm zwom ze tegen de stroom van academische vooroordelen ten opzichte van vrouwen. Onder een mannelijk pseudoniem schreef ze zich in voor wiskundecursussen in de École Polytechnique. In tegenstelling tot de grote (mannelijke) wiskundigen van haar tijd (waaronder zeker niet minste, zoals bijvoorbeeld Gauss) maakte zij een significante vordering in het op dat moment nog ongrijpbare laatste probleem van Fermat. In de 17de eeuw beweerde Fermat dat er geen natuurlijke getallen $x>0$ ,$y>0$ ,$z>0$ en $n>2$ bestaan zodat $x^n+y^n=z^n$. Bijna iedereen was wel bereid dit te geloven, maar pas in 1994 werd het effectief bewezen (door Andrew Wiles). Maar in het begin van de 19de eeuw bewees Germain een iets zwakkere versie van de stelling voor Fermat in het geval de macht $n$ in de Fermat-vergelijking een priemgetal $P$ is zodat $2P+1$ ook een priemgetal is. Zulke priemgetallen dragen sinds dan haar naam. Zo is 41 een Sophie Germainpriemgetal, want 83 is ook een priemgetal (zelfs opnieuw een Sophie Germainpriemgetal). Niet zo lang geleden werd ter ere van haar deze postzegel gedrukt:

In het project Sophie Germain Prime Search wordt naar grote Sophie Germainpriemgetallen $P$ gezocht, omdat het bijbehorende priemgetal $Q=2P+1$ handig is bij de constructie van een RSA-code. Hiermee worden banktransacties en ander gevoelig internetverkeer versleuteld. We slaan de details over, maar het breken van deze code is een pak moeilijker als een priemgetal $Q$ gebruikt wordt waarvoor $Q-1$ een grote priemdeler heeft ($P$ in dit geval). In deze context wordt het priemgetal $Q=2P+1$ een veilig priemgetal genoemd. De bezigheid van Tom Greer is dus toch niet zo wereldvreemd als op het eerste zicht lijkt. En met dezelfde moeite levert dit af en toe een gigantische priemtweeling op als extraatje.

 

Een reactie geven