MathsJam! Allen daarheen


Lezers van EOS hebben het vast al gemerkt: meer en meer van de puzzels achteraan het tijdschrift zijn afkomstig van de MathsJam die maandelijks plaatsvindt in Antwerpen, en die wij (de auteurs van deze blog) mee vorm proberen te geven.
Voor mensen die (al dan niet in het geniep) enorm kunnen genieten van wiskunde, van puzzels, van raadsels, zijn er inderdaad sinds maart ook in Vlaanderen nieuwe mogelijkheden om zich te outen. Elke voorlaatste dinsdag van de maand zijn er namelijk in verschillende steden de Mathsjams. Dit fenomeen, dat sinds 2008 bestaat, werd in het leven geroepen door de Australische standup Mathematician Matt Parker, auteur van het fantastische boek:


parker
Matt Parker, Things to make and do in the fourth dimension, Particular Books, London (2014) 455 pagina's.
De ondertitel van dit boek is A Mathematician's Journey Through Narcissistic Numbers, Optimal Dating Algorithms, at Least Two Kinds of Infinity, and More. Het gaat ook over hoe je een pizza kan verdelen, hoe je met dominostenen een computer kan maken, maar je komt er evengoed het Basel-probleem van Euler, en de Riemann-zetafunctie tegen.Parker laat zien hoe leuk wiskunde wel is, op zijn eigen unieke manier.

Een aanrader.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο


Een van de raadsels in het boek is het volgende:

Puzzel 1. Grootmoeder heeft een vierkante taart gebakken, en wil die eerlijk verdelen over haar negen kleinkinderen. Hoe gaat ze te werk?
Puzzel 2. Grootmoeder heeft een vierkant taart gemaakt, met bovenop en aan de zijkant chocoladebeslag. Ze wil die eerlijk verdelen over haar negen kleinkinderen, zodat die elk evenveel chocolade hebben. Hoe gaat ze te werk?

De eerste MathsJam in Vlaanderen was in Gent, opgestart door Lieven Scheire, in maart 2016. Deze werd op de voet gevolgd in mei door die van Antwerpen, en sinds oktober vind je er ook een in Leuven. De eerste MathsJam in London in 2008 ging door in een pub. Het was een informele bijeenkomst van wiskundeleraars, studenten van de universiteiten, academici en mensen uit de industrie die het leuk vonden over wiskunde te praten op café. Sindsdien zijn er MathsJams in cafés in een heleboel steden in de hele wereld: neem even een kijkje op de MathsJam-website. Hier zie je een sfeerbeeld van de MathsJam in Antwerpen (een beetje onscherp om de privacy van de deelnemers te garanderen;-):agoraHet oplossen van puzzels en raadsels staat centraal. Hier is er eentje:

Puzzel 3. In het kasteel van de prinses zijn er 4 slaapkamers die naast elkaar liggen. Elke nacht kiest de prinses een kamer om in te slapen, maar ze moet de volgende nacht steeds in een aanliggende kamer slapen. De eerste nacht mag ze eender waar slapen. De prins zou om duidelijke redenen graag in dezelfde kamer slapen als de prinses, maar ze wil hem niet zeggen waar zij ligt. De prins mag elke nacht een kamer kiezen om te zien of de prinses daar ook is. Als ze er is, dan is de prins gelukkig. Als niet, dan kan hij de volgende nacht opnieuw proberen.
Is er een strategie die de prins kan volgen om zeker te zijn dat ze op een nacht verenigd worden?

Dit raadsel biedt vele mogelijkheden tot uitbreiding, en er zijn open problemen. Hier vind je meer.

In Antwerpen wordt het puzzelen afgewisseld met nanolezingen over een of ander onderwerp gerelateerd met de puzzels van de avond, en met een "verkiezing van ...". Bijvoorbeeld bij het volgende raadsel:

Puzzel 4. Het Josephusprobleem: gegeven n personen, genummerd 1 t/m $n$, die in een cirkel staan. Elimineer, tellend vanaf nummer 1, telkens elke tweede persoon, totdat er nog maar 1 overblijft. Bepaal wie deze overlevende is.

... hoorde de volgende nanolezing.

Hier zie je een voorbeeld van de beginsituatie voor $n=13$: circle In dit geval blijft persoon 11 over. Ga dit zelf even na.
Het crue antwoord voor gegeven $n$ is dit: zoek de grootste macht van 2 die in $n$ zit, stel dat die gelijk is aan $2^m$, en schrijf $n$ dan als $$n=2^m+r.$$ De oplossing is: de persoon op positie $2r+1$ blijft over.
Dus voor gegeven $n$ vinden we met één druk op de knop: $2r+1$.
Wat experimenteren leert je al snel dat de eenvoudigste gevallen die zijn waar $n$ zelf een macht is van 2. We illustreren dit hier grafisch voor $n=2$, $n=4$ en $n=8$, waarbij we niet de cirkelopstelling gebruiken, maar de personen gewoon naast elkaar plaatsen en veronderstellen dat als je in de figuur helemaal rechts bent gekomen, dat je dan links verdergaat. Voor $n=2$ gebeurt er dittweeen persoon 1 blijft over. Voor $n=4$ gaat het zo:vieren zo komen we weer uit bij het geval $n=2$ waarvan we weten dat persoon 1 overblijft. Dit is $n=8$:acht Dit wordt na een ronde herleid tot $n=4$, en het is nu duidelijk dat voor een macht van 2 telkens de eerste persoon overblijft. Merk op dat dit overeenkomt met wat we vooropgesteld hebben: $$n=2^m + 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2\cdot 0 + 1 \mbox{ blijft over.}$$ Kijken we nu even naar het geval $n=13$, waarmee we kunnen laten zien wat je moet doen om het algemene geval te `bewijzen':dertien1Hier hebben we $n=2^3+5$ (dus $r=5$). We laten de eerste $r$ eliminaties gebeuren:dertien4zodat het aantal personen dat nu nog overblijft een macht van 2 is. We hernummeren nu de overblijvers, waarbij we nummer 1 toekennen aan de eerste persoon die nu aan zet is:dertienextraHet gaat om persoon 11 (of $2r+1$, na het elimineren van $2, 4, 6,\ldots, 2r$). Bij de 8 laatste weten we uit het vorige precies wat er gebeurt bij de eliminaties: de eerste blijft over! En dit is wat we wilden aantonen.

De eerstvolgende MathsJam in Antwerpen gaat door op 21 februari. Meer info vind je op de Facebook-pagina.MathsJam9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Een reactie geven