Yves Meyer, de vader van de wavelets

22 maart 2017 door Rudi Penne en Paul Levrie in Algemeen

Gisteren kende de Noorse Wetenschapsacademie de vijftiende Abelprijs toe aan Yves Meyer. Een inhoudelijk portret van zijn verwezenlijkingen.

Velen zien de Franse wiskundige als de vader van de wavelets.  Meyer wordt vaak in één adem genoemd met de Belgische Ingrid Daubechies. Ook zij maakte naam met haar pionierswerk naar wavelets.

Wat zijn dat nu precies, wavelets? En voor wat kan je ze gebruiken? Voor het eerste antwoord moeten we terug in de tijd. Aan het begin van de 19de eeuw ontwikkelde Joseph Fourier, wiskundige en fysicus, zijn Fourieranalyse. Die stelt dat je elke periodieke golf kan schrijven als een (oneindige) som van cosinus- en sinusfuncties, de klassieke voorbeelden van periodieke functies in de wiskunde.

sineandcosineparent

In 1822, toen Fourier zijn Théorie analytique de la chaleur publiceerde, geloofde niemand dat hij gelijk had. Het was pas nadat Johann Dirichlet de stelling van Fourier onder bepaalde voorwaarden kon bewijzen dat Fourier wat erkenning kreeg.

In de afbeelding hieronder zie je een periodieke golf (blauw) op een eindig interval. De golf herhaalt zich links en rechts. De andere golven zijn benaderingen, gemaakt met een som van sinussen. Door steeds meer termen te nemen, komt het resultaat dichter te liggen bij de gegeven periodieke golf.

square

Omdat een sinussom volledig is bepaald door maar enkele getallen die de sinus/cosinustermen kenmerken, hebben we zo een zeer efficiënte manier om de informatie die een gegeven periodieke golf bevat op te slaan. Het grote probleem hierbij is dat de sinus- en de cosinusfunctie periodiek zijn. Daarom dienen ze vooral om andere periodieke golven te benaderen.

Bij wavelets ligt dat anders. Deze golven worden op dezelfde manier gebruikt. Gegeven golven kan je schrijven als sommen van basisfuncties (in essentie de wavelets), maar de beperking van de periodiciteit is er niet meer. Ze lenen zich beter dan sinus- en cosinusfuncties tot het beschrijven of benaderen van algemene, niet periodieke processen.

Praktisch nut

Wavelets kan je gebruiken voor beeldcompressie. Een typisch beeld dat vaak terugkomt in teksten over wavelets is het volgende:

Wavelet beeldcompressie

Het beeld links wordt als het ware ontbonden in een aantal componenten. Je zou kunnen zeggen dat het bestaat uit een beeld dat de basiskenmerken vertoont (rechts, figuur linksboven) waaraan verschillende niveaus van detail worden toegevoegd. Omdat vanaf een bepaald niveau van detail het menselijk oog het toch niet meer ziet, kunnen bepaalde lagen weggelaten worden in de voorstelling van het beeld. Die lagen strippen heet beeldcompressie.

De Abelprijs

De Abelprijs wordt sinds 2003 jaarlijks uitgereikt aan een zeer verdienstelijk wiskundige. België heeft het hierbij tot nu toe niet zo slecht gedaan. In 2008 won Jacques Tits de prijs (samen met de Amerikaan John Griggs Thompson) voor zijn werk op de gebieden van de algebra en de moderne groepentheorie. In 2013 was het de beurt aan Pierre Deligne voor zijn bijdragen aan de algebraïsche meetkunde. Andere bekendere laureaten zijn John Nash en Andrew Wiles.

De Abelprijs wordt ook wel eens de Nobelprijs voor de wiskunde genoemd.
Niels Henrik Abel (1802-1829), naar wie de prijs genoemd is, was een Noors wiskundige die vooral bekend is geworden door zijn stelling dat de algemene vijfdegraadsvergelijking niet met radicalen kan worden opgelost. (Als je de formule 'met de discriminant' nog kent uit de wiskunde van het secundair onderwijs: die formule levert je de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking. Abel bewees dat er voor vijfde- of hogeregraadsvergelijkingen zo geen formule bestaat).

Yves Meyer

Yves Meyer is een Frans wiskundige. Hij is ondertussen 77 en emeritus hoogleraar aan de École Normale Supérieure de Cachan in de buurt van Parijs. Het is niet de eerste keer dat Meyers werk internationale erkenning krijgt. In 2010 ontving hij de Carl Friedrich Gauss Prize for Applications of Mathematics.

Een reactie geven