Zie, ‘k geef u thans, geleerden en leeken, ouden van dagen, frissche studenten, …


... weinige regeltjes, die mij zijn gebleken, vaak nuttig te werken voor tal van docenten. Zie nu hoeveel decimalen.
U weet het alweer: het is vandaag pi-dag! Als u niet weet waarom, dan bent u alvast geen trouwe lezer dan deze blog. Het is vandaag $\pi$-dag omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal $\pi$.

Eet vandaag taart ('pie') of 'pi'zza en voel je niet verplicht om aan de medemens uit te leggen waarom je dat nu zou doen. Als je dat dan toch wil doen, dan volgen er hier enkele pi-weetjes.

Wist je dat ...

  • ... het getal $\pi$ een constante is die de verhouding geeft van de omtrek van een cirkel tot de diameter? Tot op 500 cijfers na de komma ziet $\pi$ er zo uit: 500pi
  • ... er een nieuw $\pi$-record is? Peter Trüb heeft in 2016 $\pi^e$ biljoen decimalen van $\pi$ berekend. Dus 22,459,157,718,361 cijfers. De computer begon de berekening op 29 juli en was ermee klaar op 11 november 2016. Voor de berekening werd de reeks van de broers Chudnovsky gebruikt:
    $${\frac {1}{12\pi}} = \sum _{k=0}^{\infty}\frac{545140134 k + 13591409}{640320^{3 k+3/2}} {\frac {(-1)^k(6 k)!}{(3 k)! {k!}^3}} .$$ Het resultaat werd dan nadien gecontroleerd m.b.v. de formule van Bellard:
    $$\pi = \frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \left( -\frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3}  + \frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3} \right.$$ $$\left. -\frac{2^2}{10n+5} -\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9} \right) .$$ Met deze laatste reeks kan je een welbepaald cijfer na de komma berekenen van $\pi$ zonder al de vorige te moeten uitrekenen. Het werkt echter alleen als je het in het zestientallig talstelsel doet, en de berekening van Trüb is dan ook zo gedaan, en achteraf werd het resultaat omgezet naar het tientallig stelsel. De laatste 3 gevonden cijfers zijn: 237. Meer lees je hier.
  • ... de grote filosoof en wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) iets had met $\pi$? In een van zijn wiskundige artikels staat de volgende figuur:LeibniznewDat lijkt wel een beetje op een voorstelling van de kwadratuur van de cirkel! In de cirkel zie je de bekende reeks met som $\pi$ die vaak aan Leibniz wordt toegeschreven: $$ \frac{\pi}{4}= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots .$$ Alle getallen die in de reeks voorkomen zijn oneven, vandaar het citaat uit Vergilius links: Latijn voor God houdt van oneven getallen.
  • ... Leibniz niet de enige grote wiskundige was die aan circle-squaring deed. Ook Srinivasa Ramanujan (1887-1920) was ermee bezig. Hier zie je een tekening van zijn methode om het getal $\pi$ te construeren met passer en (ongemarkeerde) liniaal:SquaringOmdat bewezen is dat er zo geen constructie kan bestaan, krijg je uiteindelijk maar een benadering. Dat wist Ramanujan. Zijn benadering is wel juist tot op 8 cijfers na de komma! Ramanujan hield duidelijk van het getal $\pi$. Als je meer over hem wil weten, kijk dan naar de recente film The man who knew infinity. Bij de eerste brief die hij schreef naar G. Hardy zaten een aantal bladen met formules. Dit is er eentje van:Ramaformmet som $2/\pi$. Op dat ogenblik waren er niet veel reeksen bekend waar $\pi$ in de noemer van de som voorkwam. Hier is er nog een mooie, die bovendien snel convergeert, uit een artikel van 1914: $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(42n+5)\ {{2n}\choose {n}}^3}{2^{12n}}=\frac {16}{\pi} .$$
  • ... ook kunstenaars geïnspireerd worden door het getal $\pi$? Hier zie je een werk van Philippe Boutibonnes (1938-), zijn Récit de Pi (2000): 60000 decimalen van $\pi$ met de hand geschreven in vlinderboekjes.IMG_0541Bij klikken krijg je een detail.
  • ... er een strip is met als titel Pi=3,1416? Het is de naam van de koe/geheim agent die een hoofdrol speelt in het boek. lavacheCouv_6145
  • ... $\pi$ in verschillende afleveringen van The Simpsons een rol speelt? In een ervan moet John Nerdelbaum Frink Jr., Springfield's verstrooide professor, Lisa aankondigen wanneer ze een lezing geeft. Om het publiek stil te krijgen zegt hij: "Scientist ... Scientists, please! I'm looking for some order. Some order, please, with the eyes forward ... and the hands neatly folded ... and the paying of attention ... Pi is exactly three!" frink-pi-simpsons
  • ... dit te zien is in een van de afleveringen van de reeks Futurama? pithav
  • ... een van de gebouwen van de Google Corporation in Mountain View, Santa Clara County, California, de naam Pi draagt? googlebuilding
  • als je een touw om de aarde bindt ter hoogte van de evenaar, en je verlengt dan het touw met 1 meter en je zorgt ervoor dat het overal even hoog boven de grond komt te hangen zoals in figuur a, dat het touw dan $\frac{100}{2\pi} =15.9$ cm hoog hangt? Je kan dit eenvoudig zelf narekenen. Dit probleem dateert overigens al van 1702.earthropeHoe hoog boven de grond komt het hoogste punt als je het touw aanspant zoals in figuur b? (Antwoord: 121.37 m)
  • ... het wereldrecord decimalen-van-$\pi$-uit-het-hoofd-opzeggen-terwijl-je-jongleert-met-3-ballen 9778 decimalen (en 1 uur 20 minuten en 45 seconden jongleren) is?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Een reactie geven