Met de blik op oneindig


Het verhaal van de Indische klerk Srinivasa Ramanujan, die een wiskundig genie bleek te zijn, is welbekend. Indien je het nog niet kent, lees dan zeker het boek De Indische klerk van David Leavitt (2007). Of indien het ook in het Engels mag, het boek The man who knew infinity van Robert Kanigel uit 1991. ramanujanDit laatste boek is recent verfilmd, en hopelijk komt de film binnenkort ook hier uit. Ramanujan was de man die vanuit Indië brieven schreef naar professoren in Engeland in de hoop hen te kunnen overtuigen hem naar Engeland te halen. Daarvoor voegde hij als bewijsmateriaal een aantal wiskundige vondsten van zijn hand toe aan de brieven. Hier is een fragment:RamanujanMerk op dat het resultaat waar Ramanujan op doelt: $$1+2+3+4+5+6+\ldots = -\frac{1}{12}$$ inderdaad onwaarschijnlijk lijkt, maar het bevat toch een grond van waarheid. Als je namelijk in de formule op mijn koffiekoptasals waarde voor s het getal -1 invult, dan krijg je precies die formule van Ramanujan!
Ramanujan was autodidact, en was aangewezen op de weinige wiskundeboeken die in de lokale bibliotheek te vinden waren. Een ervan was Synopsis of Pure Mathematics (1880), van G. Carr. Dit boek, dat meer een bundeling is van formules en eigenschappen, heeft mee de manier bepaald waarop Ramanujan wiskunde bedreef: zijn nagelaten notebooks bevatten de ene formule na de andere, zonder bewijs.
Uiteindelijk werd Ramanujan uitgenodigd om naar Cambridge te komen door Godfrey Hardy (tip: lees zijn boek Apologie van een wiskundige, recent in het Nederlands uitgegeven). De film gaat over de vriendschap en de samenwerking tussen Ramanujan en Hardy. De rol van Ramanujan wordt gespeeld door Dev Patel (bekend als de hoteleigenaar in de 2 films over The Best Exotic Marigold Hotel), Jeremy Irons is Hardy. IronsHardyHier is de trailer:

In de film wordt ook een bepaald wiskundig aspect van het werk van Hardy en Ramanujan belicht, meer bepaald hun onderzoek naar een formule voor het berekenen van het aantal partities van een getal. Hierover willen we het even hebben in deze blog. Er volgt nu wat moeilijkere wiskunde. Je kan het deel tussen de verticale strepen zonder problemen overslaan.

Een van de formules die Ramanujan naar Hardy stuurde is de volgende: $$1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n^2}}{(1-x)(1-x^2)\ldots(1-x^n)}=
\prod_{n=0}^\infty \frac{1}{(1-x^{5n+1})(1-x^{5n+4})} .$$ Deze formule heeft te maken met partities, en maakte indruk op Hardy omdat deze er maar niet in slaagde ze te bewijzen. Hij had van beide leden met de hand heel wat termen uitgerekend, dus hij zag wel dat de formule waarschijnlijk klopte, maar hij kon er verder kop noch staart aan krijgen.
Wat zijn nu precies partities van een getal? We zullen werken met een praktisch voorbeeld, we vertrekken van een aantal identieke knikkers en stellen ons de vraag: op hoeveel verschillende manieren kan je die knikkers opdelen in groepjes? Neem bijvoorbeeld 5 knikkers. Dan kan het op 7 verschillende manieren, zoals je ziet in deze figuur:KnikkersEn als we starten met 7 knikkers, dan zijn dit enkele van de mogelijkheden: 7, 6 + 1, 5 + 2, 5 + 1 + 1 en er zijn er nog een boel andere. Je komt aan 15 in totaal. We zeggen dan van het getal 7 dat het 15 partities heeft. In dit geval komen we er met tellen. Maar stel nu dat je 30 knikkers hebt, dan wordt ook tellen moeilijk. Je moet dan zeker zijn dat je geen geval vergeet: het zijn er namelijk in totaal 5604!
Leonhard Euler (zie ook verder voor zijn biografie) stelde zich in de achttiende eeuw tot doel een formule te vinden om het aantal partities van een getal $n$ te berekenen.


Hij ging hierbij als volgt te werk. We illustreren het aan de hand van een voorbeeld, namelijk $n=4.$ Het getal 4 heeft de volgende partities: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. Euler noteerde die gevallen zo, als exponenten bij de letter $x$: $$x^4,\ x^{3+1},\ x^{2+2},\ x^{2+1+1},\ x^{1+1+1+1}$$ of nog $$x^4,\ x^3 x^1,\ x^{2+2},\ x^2 x^{1+1},\ x^{1+1+1+1}.$$ (Merk op dat hier wiskundig in feite gewoon vijf keer $x^4$ staat.)
Euler merkte dan op dat als je het volgende PRODUCT met oneindig veel factoren symbolisch uitwerkt: $$(1+x^1+x^{1+1}+\ldots)\cdot(1+x^2+x^{2+2}+\ldots)\cdot(1+x^3+x^{3+3}+\ldots)\cdot(1+x^4+x^{4+4}+\ldots)\cdot\ldots$$ dat de voorstellingen van de vijf partities van 4 alle 5 zullen voorkomen. Je moet hiervoor de volgende factoren kiezen uit de sommen tussen de haken: $$x^4=1\cdot 1\cdot 1 \cdot x^4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \mbox{ enz.}$$ $$x^3 x^1=x^1\cdot 1\cdot x^3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \mbox{ enz.}$$ $$x^{2+2}=1\cdot x^{2+2}\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 \cdot \mbox{ enz.}$$ $$x^{2} x^{1+1}=x^{1+1}\cdot x^2\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 \cdot \mbox{ enz.}$$ $$x^{1+1+1+1}=x^{1+1+1+1}\cdot 1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 \cdot \mbox{ enz.}$$ Bovendien, en dit is belangrijk, geeft het uitwerken van bovenstaand PRODUCT geen andere termen van de vorm $x^4$. Probeer het maar eens, het uitgewerkte PRODUCT begint zo: $$1+x+2x^2+3x^3+5x^4+7x^5+11x^6+\ldots .$$ Uit het vorige volgt nu dat je elk van de termen in deze som als volgt kan interpreteren: $5x^4$ betekent dat er precies 5 partities zijn van het getal 4, $7x^5$ betekent dat er precies 7 partities zijn van het getal 5, enzovoorts. En dit toont het belang aan van dit PRODUCT bij het bepalen van het aantal partities van een getal.
Euler slaagde er in elk van die factoren in dat PRODUCT eenvoudiger te schrijven, via de formule $$1+q+q^2+q^3+\ldots =\frac{1}{1-q}.$$ Dat dit waar is, kan je zien door beide leden te vermenigvuldigen met $1-q$: $$(1-q)(1+q+q^2+q^3+\ldots)=1-q+q-q^2+q^2-q^3+q^3-q^4+\ldots=1.$$ De eerste factor in het PRODUCT is dus ($q=x$) gelijk aan $1/(1-x)$, de tweede factor (met $q=x^2$) is gelijk aan $1/(1-x^2)$, enz. en het volledige PRODUCT kunnen we dan ook zo afkorten: $$\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)\cdots} $$ Euler werkte dan het product in de noemer uit, en vond dit: $$\frac{1}{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15} + x^{22}\ldots} $$ Door nu een soort staartdeling uit te voeren, krijg je die uitdrukking waarin je het aantal partities van het getal $n$ kan aflezen. Het is de coëfficiënt van $x^n$ in het resultaat. Hier zie je de start van de deling: staart


De formule die Euler uiteindelijk (op basis van het vorige) vond, ziet er zo uit: indien we de afkorting $p(n)$ gebruiken voor het aantal partities van het getal $n$, dan geldt $$p(n) = p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7) + p(n - 12) + p(n - 15) - p(n - 22) - \ldots .$$ Bij het gebruiken van deze formule is de afspraak dat $p(0)=1$ en als er tussen de haken achter $p$ een negatief getal komt te staan, dan is de waarde gelijk aan 0. Bijvoorbeeld, voor $p(2)$ vinden we $p(2)=p(1)+p(0)-p(-3)-\ldots=p(1)+p(0)$ met $p(0)=1$ (afspraak) en via dezelfde formule $p(1)=p(0)+p(-1)-\ldots =1$. Dus $p(2)=2$. En dat klopt, de partities van 2 zijn namelijk 2 en 1+1.
In het rechterlid van Eulers formule zijn er afwisselend telkens 2 positieve en 2 negatieve termen. Verder zijn de getallen tussen de haakjes: 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22,... de veralgemeende vijfhoeksgetallen.

Hiermee was de kous niet af, want zoals je al gemerkt hebt aan het voorbeeld: de formule van Euler is niet zo handig in het gebruik. Hardy en Ramanujan gingen dan ook op zoek naar een betere formule, en ze slaagden er in 1918 in een eenvoudige formule te vinden die het aantal partities van een getal $n$ benadert voor grote $n$. We noemen zo'n formule een asymptotische formule: $$p(n) \sim \frac{1}{4 n \sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{2 n/3}} .$$ Om dit resultaat te bewijzen, ontwikkelden ze een nieuwe methode, de cirkelmethode, die ook aan bod komt in de film.
Hans Rademacher verbeterde in 1937 hun formule aanzienlijk.

Ramanujan deed nog verder onderzoek naar partities. Hij vond zo bijvoorbeeld een aantal merkwaardige eigenschappen van de rij partitiegetallen:

  • Als het getal $n$ 4 meer is dan een vijfvoud, dus tot de rij
    4, 9, 14, 19, 24, 29,... behoort, dan is het aantal partities van dat
    getal een vijfvoud.
  • Als het getal $n$ 5 meer is dan een zevenvoud, dus tot de rij
    5, 12, 19, 26, 33, 40,... behoort, dan is het aantal partities van dat
    getal een zevenvoud.
  • Als het getal $n$ 6 meer is dan een elfvoud, dus tot de rij
    6, 17, 28, 39, 50, 61,... behoort, dan is het aantal partities van dat
    getal een elfvoud.

Je kan zelf nagaan of dit wel klopt door op http://www.wolframalpha.com bijvoorbeeld partitions(61) in te tikken, en te constateren dat dit een 11-voud is.
Wiskundigen hebben vele jaren lang plezier beleefd aan het veralgemenen van deze resultaten.

Recent, in 2011, hebben Ken Ono en enkele anderen een aantal zeer spectaculaire vondsten gedaan op het gebied van partities. Het zal dan ook niemand verbazen dat Ken Ono aanwezig was op de set van de Ramanujan-film, op uitnodiging van de makers van de film, voor de wiskundige kant van de zaak.


euler
Ronald S. Calinger, Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment, Princeton University Press, (2015) 696 pagina's.
Dit boek is de definitieve biografie van een van de meest invloedrijke en productieve wiskundigen, Leonhard Euler (1707-1783). De auteur, Ronald Calinger, is een van de oprichters van de Euler Society. Euler was behalve wiskundige ook natuurkundige, sterrenkundige, en ingenieur. Hij werd geboren in Bazel als zoon van een hervormde predikant, en al snel werd duidelijk dat hij voorbestemd was om wiskundige te worden. Hij stond in contact met alle grote wetenschappers van die tijd. Zijn wetenschappelijke output was reusachtig, en stopte zelfs niet toen hij in 1766 bijna volledig blind werd. Hij schreef zoveel dat er na zijn dood nog meer dan 30 jaar wiskundige artikels van zijn hand verschenen. Eulers invloed is nog steeds zichtbaar: veel van de nu gebruikte notaties in de wiskunde zijn door hem ingevoerd. Je vindt zelfs T-shirts met de formule van Euler, ook wel de mooiste formule uit de wiskunde genoemd: $e^{i \pi} + 1 = 0$.
Deze biografie geeft een volledig beeld van de persoon Euler en van zijn wetenschappelijk werk. Voor de geïnteresseerde lezer een must.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Een reactie geven